Hallo, unser nächstes Thema sind Tail-Entwicklungen.

Und Tail-Entwicklungen haben das Ziel, dass wenn man mit einer Funktion startet, sagen

wir mal diese Funktion hier, dass man diese Funktion in einer kleinen Umgebung von einem

Punkt, also zum Beispiel in einer Umgebung von diesem Punkt hier durch eine einfache

Funktion zu approximieren. Die einfachste Art und Weise diese Funktion zu

approximieren ist natürlich sie einfach fortzusetzen durch die konstante Funktion

durch diesen Punkt.

Das geht jetzt nicht genau durch diesen Punkt. Ich gebe mal ein bisschen mehr Mühe. Also durch das hier. Das ist jetzt hier

Appraximation durch, nennen wir es mal, t0 von x konstant gleich f von x Stern.

Die nächste bessere Alternative ist, dass man zumindest die lokale Tangentenstruktur

hier berücksichtigt und das ganze durch eine lineare Funktion

approximiert, die den Innenpunkt

den gleichen Funktionsfeld hat und außerdem den Punkt auch die gleiche

Tangenteninformation hat. Also t1 Strich von x Stern ist vielleicht f Strich von x Stern.

Und so geht es dann weiter. Das können wir noch eine bessere Alternative machen. Wir können das

auch noch quadratisch approximieren. Das sähe dann vielleicht so aus. Je mehr

Differenzierpreis-Informationen wir hier mitnehmen, desto besser wird die lokale

Approximation an diese Funktion. Wir sehen schon, aber wenn wir dann von dem Punkt weggehen, dann werden alle

Approximationen irgendwie schlechter werden. Das ist die ganz grobe Idee. Jetzt werden wir das mal auf

Mathe-Mache zu diese Füße stellen. Erstmal sprechen wir drüber wofür das eigentlich gut ist.

Warum wollen wir Funktionen annähern? Warum wollen wir nicht mit der Funktion selbst arbeiten?

Naja, also zum Beispiel kann es sein, dass diese Funktion kompliziert ist.

Also angenommen, wir haben jetzt eine Funktion, die wir von Hand nicht ausrechnen können.

Zum Beispiel die logarithm aus oder die Sinus-Funktion. Wir haben keinen Taschenrechner zu hand zum Beispiel.

Dann liefert uns Tait-Entdeckung eine Möglichkeit, Funktionen in Punkten auszuwerten,

wo wir nicht so viele Informationen haben, die aber in der Nähe von Punkten sind, die wir kennen.

Also wir wissen, n-ent von 1 ist gleich 0. Das heißt, wir wissen, n-ent von 1,0002 ist ungefähr 0.

Aber was heißt jetzt ungefähr 0? Welchen Wert kommt da jetzt ungefähr raus? Welche Größenordnung?

Sin 3 oder Sin 10 oder was kommt da raus? Ähnlich für Sin Pi plus 1.000.

Dann kann Tail-Entdeckung bei helfen Funktion auf kurz und zu weit zu integrieren.

Also wenn wir diese Funktion hier integrieren wollen, aber nur von sagen wir mal hier bis dorthin,

dann können wir einfach eine lokale Tail-Auximation machen durch eine Parabel.

Und das sieht dann sehr ähnlich aus wie die Funktion selbst.

Und das Integral in dieser Funktion ist ähnlich dem Integral über die Tail-Auximation durch ein Polynom.

Genauso können wir auch Umkehrfunktionen in Näherungsweise bestimmen.

Und schließlich ist hier eine Folgerung aus der Idee der Tail-Entdeckungen.

Damit können wir ein Hinterrechnungskriterium für lokale Maximal- und Minimalstellen aufstellen.

Also zum Beispiel f' von x Stern gleich 0 impliziert noch nicht, dass f bei x Stern eine Extremalstelle hat.

Also zum Beispiel dieses Beispiel was wir schon hatten f von x ist gleich x auf 3.

Da ist x gleich 0 kritisch, aber nicht extremal.

Vielleicht haben sie das schon in der Schule gehabt, aber wenn man zeigen kann, dass f' von x Stern gleich 0 ist

und f' von x Stern zum Beispiel echt große oder echt kleine Nodes, dann impliziert das, dass wir eine Extremalstelle haben.

Und der Beweis für diese Idee folgt aus der Idee der Tail-Entdeckungen.

So, jetzt wollen wir mal kurz darüber sprechen, wie das funktioniert, was wir uns jetzt gerade so grafisch überlegt haben.

Wir starten mit der Approximation einer Funktion durch ein Polynom von Grad kleiner gleich 1.

Also vom Typ ax plus b.

Also ich suche a und b aus R, sodass das hier ungefähr gleich f von x ist für x ungefähr x Stern.

Wenn die Funktion kompliziert ist, dann können wir natürlich erwarten, dass diese Approximation überall gut ist.

Aber zumindest in der Umgebung eines Punktes, den wir als Entwicklungspunkt festlegen.

Also nehmen wir doch mal wieder so ein Beispiel wie gerade eben.